Question

已知△ABC的重心，垂心，外心分別為G，H，O，且滿足

HG

=m

GO

，則m=

2

．

Answer 1

分析：利用△ABC的重心，垂心，外心的定義作出圖形然后利用重心，垂心，外心的性質(zhì)證明△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA可得GH：OH=AH：OD=2：1再根據(jù)

HG

=m

GO

即可求出m．

解答：解：設(shè)H，G，O，分別為△ABC的垂心、重心、外心．連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，則可知D為BC中點(diǎn)．連接OD，又因?yàn)镺為外心，所以O(shè)D⊥BC．連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，因H為垂心，所以 AE⊥BC．
∴OD∥AE，有∠ODA=∠EAD．
∵G為重心，則GA：GD=2：1．  
連接CG并延長(zhǎng)交BA于F，則可知F為AB中點(diǎn)．同理，OF∥CM．
∴有∠OFC=∠MCF  
連接FD，有FD平行AC，且有DF：AC=1：2．FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD
又∵∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA，∠ODF=∠EAC
∴有△OFD∽△HCA
∴OD：HA=DF：AC=1：2
又∵GA：GD=2：1
∴OD：HA=GA：GD=2：1  
又∵∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴GH：OH=AH：OD=2：1
∵

HG

=m

GO

∴m=2
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了△ABC的重心，垂心，外心的定義和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是首先△ABC的重心，垂心，外心的定義正確的做出圖形然后再根據(jù)三心的性質(zhì)證明出△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA得出GH：OH=AH：OD=2：1，但此題作為一個(gè)填空題有些難度因此對(duì)于這個(gè)結(jié)論要牢記在以后的題目中若在出現(xiàn)與此有關(guān)的題目可快速求解！