Question

【題目】如圖，過點(diǎn)作直線l交拋物線C：于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在P，B之間），設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D.

（1）求證：；

（2）求的面積S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡即可得到證明；

（2）由，求得的范圍，點(diǎn)A在P、B之間，可得，求得D的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解面積的最大值．

（1）由題意，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，可得，

所以，則所以．

（2）由（1）可得，解得，

因?yàn)辄c(diǎn)在P，B之間，所以，

所以，

由已知可設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)D在直線：上可得，

所以的面積，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，

可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，即時，的面積S的最大值.