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        1. 如圖,四邊形均為菱形,,且.

          (1)求證:;
          (2)求證:;
          (3)求二面角的余弦值.

          (Ⅰ)連結(jié)FO.由四邊形ABCD為菱形,得,且O為AC中點(diǎn).
          根據(jù)FA=FC,得到.
          (Ⅱ)由四邊形均為菱形,
          得到得出
          平面, .
          (Ⅲ)二面角A-FC-B的余弦值為.

          解析試題分析:(Ⅰ)證明:設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連結(jié)FO.
          因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以,且O為AC中點(diǎn).
          又FA=FC,所以.             2分
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5b/c/p0szr.png" style="vertical-align:middle;" />,
          所以.                               3分
          (Ⅱ)證明:因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/12/6/148ry2.png" style="vertical-align:middle;" />與均為菱形,
          所以
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/1/1yz9w2.png" style="vertical-align:middle;" />
          所以
          ,
          所以平面

          所以.              6分
          (Ⅲ)解:因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形,且,所以為等邊三角形.
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dd/3/hg9tx.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn),所以由(Ⅰ)知,故
          .
          兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
          設(shè)AB=2.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,,則BD=2,所以O(shè)B=1,.
          所以.      8分
          所以.
          設(shè)平面BFC的法向量為則有  所以
          ,得.      12分
          易知平面的法向量為.
          由二面角A-FC-B是銳角,得
          .
          所以二面角A-FC-B的余弦值為.    14分

          考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
          點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過(guò)程中,往往需要將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題加以解答。本題解答,通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,簡(jiǎn)化了繁瑣的證明過(guò)程,實(shí)現(xiàn)了“以算代證”,對(duì)計(jì)算能力要求較高。

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,已知菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直,,點(diǎn),分別是線(xiàn)段,的中點(diǎn).

          (I)求證:平面 平面;
          (Ⅱ)點(diǎn)在直線(xiàn)上,且//平面,求平面與平面所成角的余弦值。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          長(zhǎng)方體中,底面是正方形,,上的一點(diǎn).

          ⑴求異面直線(xiàn)所成的角;
          ⑵若平面,求三棱錐的體積;

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直,且,.

          (Ⅰ)求證:平面;
          (Ⅱ)求三棱錐的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,在四邊形中,,,點(diǎn)為線(xiàn)段上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿線(xiàn)段翻折到(點(diǎn)與點(diǎn)重合),使得平面平面,連接.

          (Ⅰ)證明:平面;
          (Ⅱ)若,且點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn),求二面角的大小.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖。在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點(diǎn)。

          (I)求證:A1B∥平面AMC1;
          (II)求直線(xiàn)CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
          (Ⅲ)試問(wèn):在棱A1B1上是否存在點(diǎn)N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形,A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心.

          (1)求證:BC⊥SA
          (2)若S在底面ABC內(nèi)的射影為O,證明:O為底面△ABC的中心;
          (3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°,SA=,求三棱錐S—ABC的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖1,⊙O的直徑AB=4,點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn),且∠CAB=45o,F(xiàn)為的中點(diǎn).沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖2).

          (Ⅰ)求證:OF//平面ACD;
          (Ⅱ)在上是否存在點(diǎn),使得平面平面ACD?若存在,試指出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          在四面體中,,且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn),

          求證:(1)直線(xiàn)EF//面ACD
          (2)面EFC⊥面BCD

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          同步練習(xí)冊(cè)答案