Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí)， .

(1) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2) 若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，可得當(dāng)時(shí)， ， ，求出可得切線斜率，求出,可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）令，則原命題等價(jià)于， 恒成立， 即恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值為，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，

當(dāng)時(shí)，則，故 ，所以，

從而得到， ，

（1）當(dāng)時(shí)， ，所以

所以在點(diǎn)的切線方程為： ，即

（2）關(guān)于的不等式恒成立，即 恒成立

令，則原命題等價(jià)于， 恒成立，

即恒成立，

記， ，

當(dāng)時(shí)， ，則遞增；當(dāng)時(shí)， ，則遞減；

所以，當(dāng)時(shí)， 取極大值，也是最大值，

所以，

即實(shí)數(shù)a的范圍為 .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.