Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）討論的極值點的個數(shù)；

（Ⅲ）若在y軸右側(cè)的圖象都不在x軸下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）答案不唯一，具體見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出在處的切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過換元法，導(dǎo)函數(shù)的解析式是二次項系數(shù)不確定的多項式函數(shù)，根據(jù)二次項系數(shù)等于零、大于零、小于零，結(jié)合一元二次方程根的判別式，分類討論求出函數(shù)的極值點的個數(shù)；

（Ⅲ）由題設(shè)可知，．因此有當(dāng)時，，

根據(jù)（Ⅱ）可知函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論；

①當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明出成立．

②當(dāng)時，利用根與系數(shù)關(guān)系，和函數(shù)的單調(diào)性可以得到．

③當(dāng)時，利用放縮法、構(gòu)造新函數(shù)，可以證明當(dāng)時，不恒成立，最后確定a的取值范圍.

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，，

所以，．

曲線在處的切線方程為，即．

（Ⅱ）由已知可得，

設(shè)，則，記，

（1）時，，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒有極值點．

（2）當(dāng)時，判別式，

①若時，，，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒有極值點．

②若時，，由，拋物線的對稱軸為，

可知的零點均為正數(shù)．

不妨設(shè)的兩個不等正實數(shù)根為，且，

則，

所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

此時函數(shù)有兩個極值點．

（3）若時，由，

可知的兩個不相等的實數(shù)根，且，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

此時函數(shù)只有一個極值點．

綜上：當(dāng)時無極值點；

當(dāng)時有一個極值點；

當(dāng)時有兩個極值點．

（Ⅲ）由題設(shè)可知，．

時，，

由（Ⅱ）知：

①當(dāng)時，函數(shù)在R上為增函數(shù)，

，所以成立；

②當(dāng)時，，，所以，

當(dāng)時單調(diào)遞增，又，

所以，，等價于，即．

所以只需，即．

所以，當(dāng)時，也滿足，；

③當(dāng)時，

，

考察函數(shù)，

顯然存在，使得，

即存在，使得，不滿足，

綜上所述，a的取值范圍是