Question

【題目】設函數(shù)且x，．

（1）判斷的奇偶性，并用定義證明；

（2）若不等式在上恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍；

（3）的值域為函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，若成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；見解析（2）；（3）

【解析】

（1）可看出是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；

（2）由題意可得出在上恒成立，然后令，，從而得出，只需，配方求出y的最小值，即可求解；

（3）容易求出，從而得出時，，可討論a：容易得出時，不符合題意；時，可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，從而可討論，和，然后分別求出在上的最小值和最大值，根據(jù)求出a的范圍即可．

的定義域為，

且，

為奇函數(shù)；

若不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，則，，

當，即時，函數(shù)取最小值，故；

是上的減函數(shù)，

在上的值域為，

在區(qū)間上，恒有，

時，在上單調(diào)遞增，

，，

，解得，不滿足；

時，在上是增函數(shù)，

，，不滿足題意；

時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，即時，在上是增函數(shù)，

，，

，解得；

，即時，在上單調(diào)遞減，

，，

，解得；

，即時，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，

，，

當，即時，，

解得，，

當，即時，，

解得，，

綜上，a的取值范圍是．