Question

（文）已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1內一點A（1，1），則過點A且被該點平分的弦所在直線的方程是

 

．

Answer 1

分析：設過A點的直線與橢圓兩交點的坐標，分別代入橢圓方程，得到兩個關系式，分別記作①和②，①-②后化簡得到一個關系式，然后根據A為弦EF的中點，由A的坐標求出E和F兩點的橫縱坐標之和，表示出直線EF方程的斜率，把化簡得到的關系式變形，將E和F兩點的橫縱坐標之和代入即可求出斜率的值，然后由點A的坐標和求出的斜率寫出直線EF的方程即可．

解答：解：設過點A的直線與橢圓相交于兩點，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則有

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②，
①-②式可得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
又點A為弦EF的中點，且A（1，1），∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
即得k_EF=

y1-y2

x1-x2

=-

4(x1+x2)

16(y1+y2)

=-

4×2

16×2

=-

1

4

，
∴過點A且被該點平分的弦所在直線的方程是y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
故答案為：x+4y-5=0

點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系及中點弦問題的求解策略，關鍵在于對“設而不求法”的掌握．