Question

【題目】如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;

（Ⅱ）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題本題以正三角形為幾何背景，考查四點(diǎn)共圓問(wèn)題以及相似三角形問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力.第一問(wèn)，利用已知條件中邊的比例關(guān)系可得出結(jié)論，再利用三角形相似，得出，所以，所以可證四點(diǎn)共圓；第二問(wèn)，根據(jù)所給正三角形的邊長(zhǎng)為2，利用已知的比例關(guān)系，得出各個(gè)小邊的長(zhǎng)度，從而得出為正三角形，所以得出，所以是所在圓的圓心，而是半徑，即為.

試題解析：(Ⅰ)證明:∵, ∴,

∵在正中,, ∴,

又∵,, ∴, ∴,

即,所以四點(diǎn)共圓. 5分

(Ⅱ)解:如圖,

取的中點(diǎn),連接,則,

∵, ∴,

∵,, ∴為正三角形,

∴,即,

所以點(diǎn)是外接圓的圓心,且圓的半徑為.

由于四點(diǎn)共圓,即四點(diǎn)共圓,其半徑為. 10分