Question

已知AC、BD為圓O：x²+y²=9的兩條相互垂直的弦，垂足為N(

2

，2)，則四邊形ABCD的面積的最大值為

12

．

Answer 1

分析：可得圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=3，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，可得d₁²+d₂²的值，又四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直，得到其面積為兩對(duì)角線乘積的一半，表示出四邊形的面積，并利用基本不等式可得．

解答：解：∵圓O的方程為：x²+y²=9，
∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=3，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵N(

2

，2)，∴d₁²+d₂²=ON²=

2

²+2²=6
又AC=2

r2-d12

=2

9-d12

，BD=2

r2-d22

=2

9-d22

，
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

AC•BD=2

(9-d12)(9-d22)

≤（9-d12）+（9-d22）=18-6=12，當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
∴四邊形ABCD面積的最大值為12．
故答案為：12

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的求法，以及基本不等式的運(yùn)用，屬中檔題．