Question

（2011•太原模擬）已知AC、BD為圓O：x²+y²=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，

2

），則四邊形ABCD的面積的最大值為

5

．

Answer 1

分析：設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂² =3，代入面積公式s=

1

2

AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答：解：如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2  OM=

3

，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=3．
四邊形ABCD的面積為：s=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：
s=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

≤8-(

d

2 1

+

d

2 2

)=5，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對(duì)角線長度之積的一半來計(jì)算．