Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：面平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理：連接，只需證明，利用中位線(xiàn)定理即可得證；（2）利用面面垂直的判定定理：只需證明面，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，，易證三角形為等腰直角三角形，可得；由面面的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可證面，得；（3）利用等體積法可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?/span>為正方形，連接交于點(diǎn)，又因?yàn)樵?/span>中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，且平面，平面，∴平面；

（2）證明：因?yàn)?/span>為正方形，∴，又面 面，平面平面 ，平面，所以平面，∴，又，所以是等腰直角三角形，且，即，又因?yàn)?/span>，且平面，所以平面，又平面，∴平面平面；

（3）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離，

所以 ，所以三棱錐的體積是.