Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 是奇函數(shù)．

∵定義域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且

∴函數(shù) 是奇函數(shù)

（2）證明：設(shè)任意實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2

則 ﹣（ ）═

═ = =

∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，

∴ ＜0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)

（3）解：∵[2，a][1，+∞）

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上也為增函數(shù)．

∴ ，

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于 ，

則

解得a≥4，

∴a的取值范圍是[4，+∞）

【解析】（1）判斷出函數(shù)是奇函數(shù)再證明，確定函數(shù)定義域且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用奇函數(shù)的定義可判斷；（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論步驟即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得函數(shù)在區(qū)間[2，a]上的單調(diào)性，再求出最大值、最小值，根據(jù)條件列出不等式求出a得范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．