【題目】如圖,在四棱柱中,
平面
,
,
,
,
,
為
的中點.
(Ⅰ)求四棱錐的體積;
(Ⅱ)設(shè)點在線段
上,且直線
與平面
所成角的正弦值為
,求線段
的長度;
(Ⅲ)判斷線段上是否存在一點
,使得
?(結(jié)論不要求證明)
【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)易證得平面
,利用
求解即可;
(Ⅱ)分別以,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面
的一個法向量為
,設(shè)
,由
求解即可;
(Ⅲ)易得對于線段上任意一點
,直線
與直線
都不平行.
試題解析:
(Ⅰ)因為平面
,
平面
,
所以.
又因為,
,
所以平面
.
因為,
所以四棱錐的體積
.
(Ⅱ)由平面
,
,可得
,
,
兩兩垂直,所以分別以
,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
,
.
所以,
,
,
.
設(shè)平面的一個法向量為
,
由,
,得
令,得
.
設(shè),其中
,
則,
記直線與平面
所成角為
,
則,
解得(舍),或
.
所以,
故線段的長度為
.
(Ⅲ)對于線段上任意一點
,直線
與直線
都不平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年我國將加快階梯水價推行,原則是“;、建機制、促節(jié)約”,其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變.為響應(yīng)國家政策,制定合理的階梯用水價格,某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研,抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下(單位:噸):
(1)在郊區(qū)的這5戶居民中隨機抽取2戶,求其年人均用水量都不超過30噸的概率;
(2)設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為,現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶,并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變.試根據(jù)樣本估計總體的思想,分析此方案是否符合國家“;”政策.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,且過點
,
,
是橢圓
上異于長軸端點的兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線:
,且
,垂足為
,
,垂足為
,若
,且
的面積是
面積的5倍,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為a的菱形ABCD中,,E,F是PA和AB的中點。
(1)求證: EF||平面PBC ;
(2)求E到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 cosB+
cosA=
(I)求∠C的大;
(II)求sinB﹣ sinA的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: +
=1(a>b>0)經(jīng)過點(﹣1,
),其離心率e=
.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓C相切,切點為T,且l與直線x=﹣4相交于點S.
試問:在x軸上是否存在一定點,使得以ST為直徑的圓恒過該定點?若存在,求出該點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)x,y滿足 ,若目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10,最小值為﹣2m﹣2,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[2,3]
D.[﹣1,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,. 現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè) 為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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