Question

【題目】如圖，在四棱柱中， 平面， ， ， ， ， 為的中點.

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在一點，使得？（結論不要求證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）易證得平面，利用求解即可；

（Ⅱ）分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設，由求解即可；

（Ⅲ）易得對于線段上任意一點，直線與直線都不平行.

試題解析：

（Ⅰ）因為平面， 平面，

所以.

又因為， ，

所以平面.

因為，

所以四棱錐的體積.

（Ⅱ）由平面， ，可得， ， 兩兩垂直，所以分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， .

所以， ， ， .

設平面的一個法向量為，

由， ，得

令，得.

設，其中，

則，

記直線與平面所成角為，

則，

解得（舍），或.

所以，

故線段的長度為.

（Ⅲ）對于線段上任意一點，直線與直線都不平行.