Question

（本題滿分13分)
設(shè)函數(shù)
若，求曲線處的切線方程；
討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

（1）.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.

試題分析：（1）由題意知時(shí)，，求切線的斜率，即，又，由直線方程的點(diǎn)斜式進(jìn)一步整理，得到切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054017388535.png" style="vertical-align:middle;" />，
，根據(jù)的不同情況，討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，以確定函數(shù)的單調(diào)性.其中時(shí)，情況較為單一，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，
由于，再分，，等情況加以討論.
試題解析：（1）由題意知時(shí)，，
此時(shí)，
可得，又，
所以曲線在處的切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054017388535.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，
由于，
當(dāng)時(shí)，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
則，，
由 ，
所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.