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        1. 【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對角線折起,使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn),如圖2,這時(shí)平面平面.

          (1)求直線與平面所成角的正切值;

          (2)求二面角的正切值.

          【答案】(1);(2)2.

          【解析】

          解法一:(幾何方法)

          1)過做垂線,垂足為,連接,通過線面垂直的證明得到在平面內(nèi)射影為,再根據(jù)長度關(guān)系計(jì)算出的值即為直線與平面所成角的正切值;

          (2)利用中點(diǎn),過點(diǎn),垂足為,連接,通過證明得到二面角的平面角為,再計(jì)算出的值即為二面角的正切值;

          解法二:(向量方法)

          1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求解出平面的法向量并計(jì)算出線面角的正弦,由此可計(jì)算出線面角的正切值;

          (2)計(jì)算出平面的法向量和平面的法向量,根據(jù)兩個(gè)向量的余弦值計(jì)算出二面角的余弦值,即可求解出二面角的正切值.

          解法一:(1),,

          ,為正三角形,

          過點(diǎn)做垂線,垂足為,連接

          平面平面,為交線,

          平面,

          在平面內(nèi)射影,

          就是直線與平面所成角,

          在直角三角形中,,,

          ,,

          設(shè)中點(diǎn),連接,易知,

          中點(diǎn),

          在直角三角形中,,,

          平面,且平面,

          ,

          直線與平面所成角的正切值為.

          (2)平面平面,為交線,且,

          平面,

          過點(diǎn),垂足為,連接

          ,

          平面,

          就是二面角的平面角,

          在直角三角形中,,,

          ,

          二面角的正切值為2.

          解法二:

          為正三角形,

          設(shè)中點(diǎn),則,

          在平面內(nèi),過點(diǎn)作垂直于的直線.

          平面平面,

          為坐標(biāo)原點(diǎn),軸,軸,直線軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

          由平面幾何知識,易得,,

          (1)

          平面

          可取為平面的法向量.

          設(shè)直線與平面所成的角為,

          直線與平面所成的正切值為.

          (2)設(shè)平面的法向量為.

          ,即,

          ,得,

          平面的法向量為,

          ,

          二面角的正切值為2.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某校共有學(xué)生2000人,其中男生1100人,女生900人為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))

          1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?

          2)如圖,根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.若在樣本數(shù)據(jù)中有38名女學(xué)生平均每周課外閱讀時(shí)間超過2小時(shí),請完成每周平均課外閱讀時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”.

          男生

          女生

          總計(jì)

          每周平均課外閱讀時(shí)間不超過2小時(shí)

          每周平均課外閱讀時(shí)間超過2小時(shí)

          總計(jì)

          附:

          0.100

          0.050

          0.010

          0.005

          2.706

          3.841

          6.635

          7.879

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)

          (1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          (2)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,求a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,點(diǎn)的中點(diǎn),將沿著折起,使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處,且滿足.

          1)證明:平面

          2)求二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度.已知曲線,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為.直線與曲線分別交于、

          (1)求的取值范圍;

          (2)若、成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,在橢圓上運(yùn)動.

          1)若對有最大值為120°,求出、的關(guān)系式;

          2)若點(diǎn)是在橢圓上位于第一象限的點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,過作直線的垂線,若直線、的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo);

          3)若設(shè),在(2)成立的條件下,試求出兩點(diǎn)間距離的函數(shù),并求出的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】數(shù)列的前項(xiàng)1,3,7,)組成集合,從集合中任取)個(gè)數(shù),其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如:當(dāng)時(shí),,;時(shí),,.

          1)當(dāng)時(shí),求,,的值;

          2)證明:時(shí)集合時(shí)集合(為以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式);

          3)試求(用表示).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),(萬元),每件售價(jià)為0.05萬元,通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.

          1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;

          2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.

          1)試寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);

          2)設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,問是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請說明理由;

          3)已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,為其前項(xiàng)的和,試證明:

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