【題目】已知函數(shù)
， 
（
， 
為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）試討論函數(shù)
的極值情況；
（2）證明：當(dāng)
且
時，總有
.
【答案】（1）見解析;（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）求
定義域內(nèi)的所有根；判斷
的根
左右兩側(cè)值的符號即可得結(jié)果；（2）當(dāng)
時， 
，研究函數(shù)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，可證明
在
內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而可得當(dāng)
時， 
，即可得結(jié)果.
試題解析：（1）
的定義域為
，
.
①當(dāng)
時， 
，故
在
內(nèi)單調(diào)遞減， 
無極值；
②當(dāng)
時，令
，得
；令
，得
.
故
在
處取得極大值，且極大值為
， 
無極小值.
（2）證法一：當(dāng)
時， 
.
設(shè)函數(shù)
，
則
.記
，
則
.
當(dāng)
變化時， 
， 
的變化情況如下表：
由上表可知
，
而
，
由
，知
，
所以
，
所以
，即
.
所以
在
內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以當(dāng)
時， 
.
即當(dāng)
且
時， 
.
所以當(dāng)
且
時，總有
.
證法二：當(dāng)
時， 
.
因為
且
，故只需證
.
當(dāng)
時， 
成立；
當(dāng)
時， 
，即證
.
令
，則由
，得
.
在
內(nèi)， 
；
在
內(nèi)， 
，
所以
.
故當(dāng)
時， 
成立.
綜上得原不等式成立.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，曲線
的極坐標(biāo)方程是
，以極點為原點
，極軸為
軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長度）的直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為： 
（
為參數(shù)）.
（1）求曲線
的直角坐標(biāo)方程與曲線
的普通方程；
（2）若用
代換曲線
的普通方程中的
得到曲線
的方程，若
分別是曲線
和曲線
上的動點，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機選取
名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試，測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離），無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于表
停車距離 |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 26 |
|
| 8 | 2 |
表
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | /tr>
平均停車距離 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表
數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為
，回答以下問題.
(Ⅰ)求
的值，并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)最小二乘法，由表
的數(shù)據(jù)計算
關(guān)于
的回歸方程
；
（Ⅲ）該測試團隊認為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”
大于（Ⅰ）中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的
倍，則認定駕駛員是“醉駕”.請根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程,預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”？
（附：回歸方程
中， 
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）2lnx（a為常數(shù)）．
（1）若f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直．
（�。┣髮崝�(shù)a的值；
（ⅱ）若a非正，比較f（x）與x（x﹣1）的大��；
（2）如果0＜a＜1，判斷f（x）在（a，1）上是否有極值，若有極值是極大值還是極小值？若無極值，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知映射f：A→B，其中A=B=R，對應(yīng)法則f：x→y=（ 
） 
，若對實數(shù)m∈B，在集合A中存在元素與之對應(yīng)，則m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，2]
B.[2，+∞）
C.（2，+∞）
D.（0，2]
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，點
在以
為直徑的圓
上， 
垂直與圓
所在平面， 
為
的垂心.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，點
在線段
上，且
，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
），數(shù)列
的前
項和為
，點
在
圖象上，且
的最小值為
.
（1）求數(shù)列
的通項公式；
（2）數(shù)列
滿足
，記數(shù)列
的前
項和為
，求證： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現(xiàn)將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點A與坐標(biāo)原點重合．記邊AB所在直線的斜率為k，0≤k≤ 
．求：當(dāng)|BC|取最大值時，邊AB所在直線的斜率的值． 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）= 
．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．
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