Question

【題目】對于函數(shù)和，若存在區(qū)間，使在區(qū)間上恒成立，則稱區(qū)間是函數(shù)和的“公共鄰域”．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）若，求函數(shù)的定義域；

（3）是否存在實數(shù)，使得區(qū)間是和的“公共鄰域”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將作為方程利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化解出，然后確定原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域，再由對稱可得將換為，換為，即可得到所求的解析式；

（2）由對數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式求交集，即可得到所求定義域；

（3）設(shè)，然后求出在閉區(qū)間，上的最小值與最大值，使最大值小于等于1，最小值大于等于，建立不等式組進行求解即可．

解：（1）設(shè)，則，

兩邊取對數(shù)得：，

所以；

由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象 關(guān)于點對稱，

可得，即為；

（2），函數(shù)，

由，且，

可得，

則函數(shù)的定義域為；

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得區(qū)間，是和的“公共鄰域”，

因為，時，函數(shù)有意義，

所以，所以，

由區(qū)間，是和的“公共鄰域”，

可得，

設(shè)，

二次函數(shù)的對稱軸為，

所以在，上為增函數(shù)，

當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時取得最大值，

從而可得在閉區(qū)間，上的最小值與最大值分別為：

，，

當(dāng)，時，恒有成立的充要條件為：

，即為，

解得．

則存在實數(shù)，且，

即時使得區(qū)間，是和的“公共鄰域”．