Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若斜率為的直線與曲線交于，兩點，其中，求證：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)時，在區(qū)間遞增，時，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用導數(shù)的知識求解；(2)借助題設運用導數(shù)的知識求解；(3)依據(jù)題設先等價轉(zhuǎn)化,再構設函數(shù)運用運用導數(shù)的知識分析推證.

試題解析：

（1），令，得，

當時，，當時，，

則在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，

所以當時，.

（2），，

當時，恒有，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；

當時，令，即，解得，

令，即，解得，

綜上，當時，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）證明：，要證明，即證，

等價于，令（由，知），

則只有證，由，知，故等價于（*）

<1>設，則，所以在內(nèi)是增函數(shù)，當時，，所以，

<2>設，則，所以在內(nèi)是增函數(shù)，所以當時，，即，

由<1><2>知（*）成立，所以.