Question

【題目】已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)積為243，且2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=bn﹣1log3an+2（n≥2且n∈N*），且b1=1，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由前5項(xiàng)積為243，即為a1a2a3a4a5=243，

即有a1a5=a2a4=a32，即a35=243，

得：a3=3，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

由2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)得：4a3=3a2+a4，

即 ，

由公比不為1，解得：q=3，

所以an=a3qn﹣3，

即

（2）解：由bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，

得 ，

數(shù)列 ，

所以它的前n項(xiàng)和

【解析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a3=3，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式，解得q=3，即可得到所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求得bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，運(yùn)用數(shù)列恒等式bn=b1 … =n!，求出 ，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可得到所求和．