Question

已知向量

a

=(1，

3

)，

b

=(cosx，sinx)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最值及相應的x值；
（2）若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有兩個不同的零點x₁、x₂，試求x₁+x₂的值以及相應m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積，兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，然后求函數f（x）的最值及相應的x值；
（2）通過x∈[0，2π]求出相位的范圍，通過函數的圖象求解方程有兩個不同的零點x₁、x₂，推出x₁+x₂的值以及相應m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=cosx+

3

sinx=2sin(x+

π

6

)．…（2分）
最大值為2，相應的x=2kπ+

π

3

，k∈Z；…（4分）
最小值為-2，相應的x=2kπ-

2π

3

，k∈Z．…（6分）
（2）f(x)=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]，所以x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．
在同一坐標系中作出y=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]和y=m的圖象，
由數形結合法可知：m∈（-2，1）∪（1，2）．…（8分）
當m∈（-2，1）時，x1+x2=

8π

3

；…（10分）
當m∈（1，2）時，x1+x2=

2π

3

．…（12分）

點評：本題考查向量的數量積，兩角和的正弦函數的應用，三角函數值域的求法，考查計算能力．