Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，且．

（1）求橢圓方程；

（2）對(duì)于x軸上的某一點(diǎn)T，過T作不與坐標(biāo)軸平行的直線L交橢圓于兩點(diǎn)，若存在x軸上的點(diǎn)S，使得對(duì)符合條件的L恒有成立，我們稱S為T的一個(gè)配對(duì)點(diǎn)，當(dāng)T為左焦點(diǎn)時(shí)，求T的配對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）條件下討論當(dāng)T在何處時(shí)，存在有配對(duì)點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）（2）（-4，0）（3）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P,由可得,由結(jié)合橢圓的定義可得2a,結(jié)合可求橢圓的方程

（2）可設(shè)過T的直線方程為,,聯(lián)立橢圓方程整理可得,設(shè),,,由得即,結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求a

（3）設(shè),直線的方程,,使得對(duì)符合條件的L恒有成立,則T必須在之間即

同（2）的整理方法,聯(lián)立直線與橢圓方程由可得,,同（2）的方法一樣代入可求

解：（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P,由可得

可得

,

橢圓的方程為：

（2）,

則過可設(shè)過T的直線方程為,,

聯(lián)立橢圓方程整理可得

設(shè),,,則,

整理可得

即

（3）設(shè),直線的方程,

使得對(duì)符合條件的L恒有成立,則T必須在之間即

同（2）的整理方法,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,,

由可得,

同（2）的方法一樣代入可求.