Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中已知橢圓過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且MA交橢圓E于點(diǎn)P.

（i）求證：為定值；

（ii）設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q，問：直線MQ是否過定點(diǎn)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）證明見解析，定值為4 （ii）直線過定點(diǎn).

【解析】

（1）由題意得離心率公式和點(diǎn)滿足的方程，結(jié)合橢圓的的關(guān)系，可得，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）（i）設(shè)，求得直線MA的方程，代入橢圓方程，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得證；
（ii）直線MQ過定點(diǎn)O（0，0）．先求得PB的斜率，再由圓的性質(zhì)可得MQ⊥PB，求出MQ的斜率，再求直線MQ的方程，即可得到定點(diǎn)．

解：（1）易得且，

解得

所以橢圓E的方程為

（2）設(shè)，

①易得直線的方程為：，

代入橢圓得，，

由得，，從而，

所以示，

②直線過定點(diǎn)，理由如下：

依題意，，

由得，，

則的方程為：，即，

所以直線過定點(diǎn).