Question

【題目】已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，如果數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“可等距劃分數(shù)列”．

（1）判斷數(shù)列是否是“可等距劃分數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知，，設，求證：對任意的，，數(shù)列都是“可等距劃分數(shù)列”；

（3）若數(shù)列是“可等距劃分數(shù)列”，求的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列是“可等距劃分數(shù)列”，理由見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）存在等差數(shù)列使得不等式成立，進而可知是“可等距劃分數(shù)列”；

（2）設等差數(shù)列，且，可知，得到符合題意的不等式，證得結(jié)論；

（3）當時，可得到等差數(shù)列滿足條件；當時，可得到滿足條件；當時，采用反證法，若有等差數(shù)列滿足條件，由可求得，不滿足條件，從而知不合題意，從而得到結(jié)果.

（1）存在等差數(shù)列，使得

數(shù)列是“可等距劃分數(shù)列”

（2）對任意的，，設

則對任意的，都有

即數(shù)列為等差數(shù)列

，

即滿足

對任意的，，數(shù)列都是“可等距劃分數(shù)列”

（3）當時，對于數(shù)列存在等差數(shù)列滿足條件

當時，對于數(shù)列存在等差數(shù)列滿足條件

當時，若存在等差數(shù)列滿足

則有

，，與矛盾

當時，若數(shù)列不可能是“可等距劃分數(shù)列”

綜上所述，的所有可能值是，