如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.
（1）連接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N為PC中點，
∴AN=
PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，
∴BN=
PC.
∴AN=BN，
∴△ABN為等腰三角形，
又M為底邊的中點，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）連接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.
∵四邊形ABCD為矩形.
∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M為AB的中點，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N為PC的中點，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖,已知三棱錐
P-ABC中，
PA、
PB、
PC與底面
ABC成相等的角，∠
CAB=90°,
AC=
AB,
D為
BC的中點，
E點在
PB上，
PC∥截面
EAD.
(1)求證:平面
PBC⊥底面
ABC.
(2)若
AB=
PB，求
AE與底面
ABC所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖所示，在三棱柱ABC—A
1B
1C
1中，M、N分別是BC和A
1B
1的中點.
求證：MN∥平面AA
1C
1.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M，N分別為PA，BD上的點，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
（1）求證：直線MN∥平面PBC；
（2）求線段MN的長.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，已知
正方形
，
于
，
于
．
平面
交
于
，（1）求證：
； （2）求證：
面
．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2
，M，N分別為AB，SB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的正切值．
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南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案
和共面的直線m、n，下列命題中真命題是 ( )
是不共面的直線，且
，
，
，求證：
．
中，若
是
的中點，則直線
垂直于（ ）
