如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD.
(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
(1)詳見解析；（2）
解析試題分析：（1）要證明兩個平面垂直，一種方法是只需在一個平面內(nèi)找另一個平面的一條垂線：另一種方法是可利用若
∥
，則
，由題可知
面
，則
，再證明
,則
面
，從而平面
⊥平面；（2）求二面角大小，可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（需在圖中找兩兩相交且垂直的三條直線，先求兩個半平面的法向量的夾角，從而可確定二面角的大小.
試題解析：(1)∵
面
，∴
，又
,所以面，∴，在直角梯形中，設(shè)
，則
，所以，又
,所以面，又
面，∴平面⊥平面；
（2）法一）由（1）知
兩兩垂直，故以
為坐標(biāo)原點，
的方向分別為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)
，則
,設(shè)面的法向量
，則
則
，令
，∴
，面
的法向量
，設(shè)
的夾角為
，所以
，所以二面角
的余弦值為.
法二）由（1）知面，∴
就是二面角的平面角，在
中
，所以
.
考點：1、面面垂直的判定；2、二面角的求法.
培優(yōu)口算題卡系列答案
開心口算題卡系列答案
口算題卡河北少年兒童出版社系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面B1CD；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝
CD＝1，PD＝
。
（I）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為
？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝
，AD＝1.
（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE,
=45
,O是BC的中點，AO=
,且BC=6，AD=AE=2CD=2
，
(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
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中，
、
分別是
、
的中點，
平面
；
的正切值；
的距離．
平面
，
，且
，
、
、
分別是線段
、
、
的中點.
平面
；
、
所成角的余弦值.
中，
，
，
，正方形
所在平面與平面
分別是
的中點。
平面
；
與平面
均為全等的直角梯形，且
，
.
平面
；
的余弦值.