已知如圖，平行四邊形
中，
，
，
，正方形
所在平面與平面垂直，
分別是
的中點。
⑴求證：
平面
；
⑵求平面
與平面所成的二面角的正弦值。
（1）詳見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構造平行四邊形，或構造三角形中位線(特別是有中點時)，由此本題即要證明
的中點
也是
的中點，于是只要證明四邊形
是平行四邊形，此較為容易；（2）求二面角一般分為三個步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識求出二面角的三角函數(shù)值，也可建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量的夾角，根進一步判斷二面角的大小.
試題解析：⑴證明;
，
,
且
,
四邊形是平行四邊形，
為的中點，又
是
的中點
,
平面
平面,
平面 4分
⑵（解法1）過點
作
于
，易知為
中點，連結
.
易知
，
平面
，
,
是平面
與平面
所成的二面角的平面角. 8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為. 12分
（解法2）以點為坐標原點，
所在的直線分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系，則
, 6分
,
設平面的法向量
由
，得
，
令
，
又平面的法向量為
, 9分
設平面與平面所成的二面角為
，則
，
即平面與平面所成的二面角的正弦值為. 12分
考點：空間中線面的位置關系，二面角.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝
，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．
（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；
（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（Ⅰ）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是
，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD.
(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，
，
交AC于點M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1,
（1）證明
；
（2）（文科）求三棱錐
的體積
（理科）求平面
和平面
所成的銳二面角的正切值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知直角梯形
，
是
邊上的中點（如圖甲），
，
，
，將
沿
折到
的位置，使
,點
在
上，且
（如圖乙）
（Ⅰ）求證：
平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值
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中,
⊥底面
,
,
,
.
⊥平面
;
上的點
滿足
,求三棱錐
的體積.
的底面
為正方形，
底面
分別是
的中點.
平面
；
平面
；
，求
與平面
中，底面
為菱形，
，
為
的中點。
，求證：平面
；
在線段
上，
，試確定
的值，使
；