Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA₁＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB₁上運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）證明：AD⊥C₁E；
（Ⅱ）當(dāng)異面直線AC，C₁E 所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C₁-A₁B₁E的體積．

Answer 1

(I)見解析；(II).

解析試題分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/d/1m9i53.png" style="vertical-align:middle;" />為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,即可證；（II）等體積法，由，即可求出三棱錐的體積.
試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/d/1m9i53.png" style="vertical-align:middle;" />為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/b/1qo8a3.png" style="vertical-align:middle;" />是直棱柱，所以面
又面，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/d/1cihu3.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰直角三角形，且為的中點(diǎn)，所以
又
所以. 面,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2f/d/tz3xt1.png" style="vertical-align:middle;" />面,
所以，
(證畢)
（Ⅱ）.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/24/a/7vtle1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
在中，
在中，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/b/1qo8a3.png" style="vertical-align:middle;" />是直棱柱
所以是三棱錐的高

所以，三棱錐的體積為
考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的性質(zhì)；2.棱錐的體積.