Question

【題目】已知：.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)，時(shí)，證明：

（i）在點(diǎn)處的切線與的圖像至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

（ii）若另有公共點(diǎn)為，其中，則.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（i）見(jiàn)解析，（ii）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求得函數(shù)到導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)分成兩種情況，討論的單調(diào)性.（2）先判斷出的二階導(dǎo)數(shù)大于零.（i）先求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，，構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，，以及結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出至少有兩個(gè)零點(diǎn)，也即切線與至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).（ii）取，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有，而，利用基本不等式證得.

（1），當(dāng)時(shí)，在，當(dāng)時(shí)，，.

（2）.

（i），

，，，.

，

時(shí)，，：，，，.

又

，

，

當(dāng)時(shí)，，取時(shí)，，

故，使.故至少有兩個(gè)零點(diǎn)，也即切線與至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

（ii）取，，

∴，∴.