Question

【題目】已知，，曲線與在原點(diǎn)處的切線相同.

（1）求，的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）, （2）的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;,無極大值;（3）

【解析】

（1）先求得與.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,將切點(diǎn)坐標(biāo)代入求得切線斜率.再根據(jù)兩個函數(shù)在原點(diǎn)的切線相同,即可求得的值;將切點(diǎn)代入即可求得的值.

（2）將的值代入,令求得極值點(diǎn).討論極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號,即可確定的單調(diào)區(qū)間和極值;（3）由（1）可知當(dāng)時.所以當(dāng)時,對于任意都成立;當(dāng)時,構(gòu)造函數(shù),代入、后求得,再根據(jù)所求的構(gòu)造,并求得.分析可知,當(dāng)時,所以令,進(jìn)而討論的取值情況. 當(dāng)時,可知在單調(diào)遞增,因而,即.從而可得;當(dāng)時,由可得單調(diào)遞增,由零點(diǎn)存在定理可知存在,使得.通過的單調(diào)性可知,所以,即在內(nèi)有單調(diào)遞減區(qū)間,因而不成立.即可得的取值范圍.

（1）,定義域為.

則,

則在原點(diǎn)處的切線斜率為,

而曲線與在原點(diǎn)處的切線相同.

所以

解得

由題意可知過

代入可得

綜上可得,

（2）由（1）可知,

令,解得

當(dāng)時,

當(dāng)時,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

則在處取得極小值,無極大值

（3）由（1）可知當(dāng)時

此時無論取何值,均滿足

當(dāng)時,

令

則

令

則

由可知

所以令,解得

i:當(dāng)時,,

所以在單調(diào)遞增,所以.

即,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,

則,此時滿足題意.

ii:當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增

而,當(dāng)時,

由零點(diǎn)存在定理可知存在,使得

因而在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增

而由于,則

因而,即在內(nèi)有單調(diào)遞減區(qū)間,

因而,不符合題意

綜上可知,當(dāng)時,,的取值范圍為