Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖， 在四面體ABOC中, , 且.

（Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)， 證明： 在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）在平面內(nèi)作交于，連接。

又，　
，。
取為的中點(diǎn)，則。
 在等腰　中，，

在中， ，
在中， ，  .
（Ⅱ）連接 ，由，知：.

又，
又由，.
是在平面內(nèi)的射影.
在等腰中，為的中點(diǎn)，
根據(jù)三垂線(xiàn)定理，知： ,
為二面角的平面角.
在等腰中，，
在中， ，中，.

解法二：（Ⅰ） 取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線(xiàn)為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,則 , 為中點(diǎn)，

.
設(shè)  .


 即，。
所以存在點(diǎn)  使得  且.
（Ⅱ）記平面的法向量為,則由，，
且，得， 故可取
又平面的法向量為 ..
二面角的平面角是銳角，記為，則.

略