Question

【題目】已知拋物線，圓.

（Ⅰ）是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的定點(diǎn)，，求拋物線的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過點(diǎn)的直線與圓相切，設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則在軸上是否存在點(diǎn)使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題，求得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入求得方程；

（Ⅱ）先由題求得直線l的方程，再假設(shè)存在點(diǎn)使，轉(zhuǎn)化為，然后聯(lián)立方程，求得斜率相加為0，解得M的坐標(biāo)即可.

（Ⅰ）拋物線C的焦點(diǎn)為,

由

代入拋物線方程得p=2,故拋物線C的方程為：

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),過點(diǎn) 的直線不可能與圓E相切；

所以過拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在,

設(shè)直線斜率為k,則所求的直線方程為,

所以圓心到直線l的距離為

當(dāng)直線l與圓相切時(shí),有

所以所求的切線方程為或

不妨設(shè)直線l：,交拋物線于兩點(diǎn),

聯(lián)立方程組 得.

所以,,

假設(shè)存在點(diǎn)使，則. 所以

即t=-1故存在點(diǎn) 符合條件

當(dāng)直線l：時(shí),

由對稱性易知點(diǎn)也符合條件

綜上存在點(diǎn)使