Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F₁，經(jīng)過點(diǎn)F₂的直線l與該圓相切于點(diǎn)M，|MF₂|=2

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）分別用a，b，c表示出|AB|和|F₁F₂|，根據(jù)已知建立等式求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率e．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中a和c的關(guān)系，用c表示出橢圓的方程，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)PB為直徑，推斷出BF₁⊥PF₁，進(jìn)而知兩直線斜率相乘得-1，進(jìn)而求得sinθ和cosθ，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用P，B求得圓心坐標(biāo)，則可利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出|OB|，|OF₂|，利用勾股定理建立等式求得c，則橢圓的方程可得．

解答： 解：（Ⅰ）依題意可知

a2+b2

=

3

2

•2c，
∵b²=a²-c²，
∴a²+b²=2a²-c²=3c²，
∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=2c²，
∴b²=a²-c²=c²，
∴橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，B（0，c），F(xiàn)₁（-c，0）
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（

2

csinθ，ccosθ），以線段PB為直徑的圓的圓心為O，
∵PB為直徑，
∴BF₁⊥PF₁，
∴k_BF1•k_PF1=

c

c

•

ccosθ

2 csinθ+c

=-1，
求得sinθ=-

2 2

3

或0（舍去），
由橢圓對(duì)稱性可知，P在x軸下方和上方結(jié)果相同，只看在x軸上方時(shí)，
cosθ=

1- 8 9

=

1

3

，
∴P坐標(biāo)為（-

4

3

c，

1

3

c），
∴圓心O的坐標(biāo)為（-

2

3

c，

2

3

c），
∴r=|OB|=

4 9 c2+ c2 9

=

5

3

c，|OF₂|=

25c2 9 + 4c2 9

=

29

3

c，
∵r²+|MF₂|²=|OF₂|²，
∴

5c2

9

+8=

29

9

c²，
∴c²=3，
∴a²=6，b²=3，
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．第（1）相對(duì)簡(jiǎn)單，主要是求得a和c的關(guān)系；第（2）問較難，利用參數(shù)法設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．