Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點在軸上，中心在坐標原點，長軸長為4，短軸長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在過的直線，使得直線與橢圓交于，？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；直線或

【解析】

（1）由長軸和短軸可得，從而得橢圓方程；

（2）當直線的斜率不存在時，不滿足條件；假設(shè)存在斜率存在的過點的直線，使得直線與橢圓交于，，設(shè)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達定理得，說明，代入可求得，得直線方程．

解：（1）設(shè)橢圓的方程為，

可得，即，

所以橢圓的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，不滿足條件；

假設(shè)存在過點的直線，使得直線與橢圓交于，，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程得，

設(shè)，，

，即，

由，化為，

得，

化為，解得，

所在存在直線或滿足條件.