Question

【題目】在矩形中，，，、、、分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）.若、分別在線段、上.且.

（Ⅰ）求證：直線與的交點(diǎn)總在橢圓：上；

（Ⅱ）若、為曲線上兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)比值關(guān)系寫出、，再聯(lián)合、寫出直線、，再求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得證。

（Ⅱ）設(shè)出直線，聯(lián)立方程，再利用斜率之積為，求出，即可得出定點(diǎn).

解（Ⅰ）∵，∴，

又則直線的方程為 ①

又則直線的方程為 ②

聯(lián)立①②: 解得，

，∴直線與的交點(diǎn)在橢圓：上；

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)：

則，∴，不合題意，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，.

聯(lián)立方程得

則，，，

又

即，

將，代入上式得，

∴直線過(guò)定點(diǎn).