Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，按、、三種情況分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的極值；

（2）由（1）知，當(dāng)時，極值點(diǎn)，是方程的兩根，化簡得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

得，，

（i）若時；，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值，是的一個極小值點(diǎn)；

（ii）若時，則，即時，此時，在是減函數(shù)，無極值點(diǎn)，

當(dāng)時，則，令，解得，，

當(dāng)和時，，當(dāng)時，，

∴在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點(diǎn)，

綜上可知：（i）時，僅有一個極值點(diǎn)；(ii).當(dāng)時，無極值點(diǎn)；

(iii)當(dāng)，有兩個極值點(diǎn).

（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

且，是方程的兩根，∴,，

則

，

設(shè)，，則，

∴時，是減函數(shù)，，

∴，

∴.