Question

已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分別是棱CC′與BB′上的點，且EC=BC=2FB=2.

（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF與底面ABCD所成二面角的大小.

Answer 1

（1）以O為原點，分別為x，y，z軸建立直角坐標系, M（0，0，1）F（，0，1）=（，0，0）, MF⊥平面,所以平面AEF⊥平面（2）

試題分析：（1）以O為原點，分別為x，y，z軸建立直角坐標系，
由條件知：EC=BC=2，F(xiàn)B=1，OA=1，OB=，
從而坐標E（0，1，2），F(xiàn)（，0，1）.
（1）連結AE與交于M，連結MF，
可得，M（0，0，1），
=（，0，0）.
則MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，
所以平面AEF⊥平面.
（2）取EC中點G，得平面MFG∥底面ABCD，
所以只要求面AEF與面MFG所成的二面角即可.
，
即，可見是面AEF與面MFG所成二面角的平面角.
在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，顯然，所求二面角為.
點評：本題利用向量求解較簡單，坐標原點在底面對角線交點處