Question

已知函數(shù)，。
（1）若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若，有唯一實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍；
（3）若a=2，則是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n＜0），使得函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都為[m，n]。若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0，
∴a=1。
（2），
∴，
令，
則問題轉(zhuǎn)化為方程在上有唯一解，
令，則，
∴a≥1。
（3）不存在實(shí)數(shù)m、n滿足題意。
易知，
在R上是增函數(shù)，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n＜0）滿足題意，有，
即m、n是方程f（x）=x的兩個(gè)不等負(fù)根。
由，得，
令，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，，
而，∴，
∴方程在上無解，故不存在實(shí)數(shù)m、n滿足題意。