Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=2

2

．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱錐B-DOM的體積．

Answer 1

（1）∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，
∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以O(shè)D是三棱錐D-BOM的高．
由OD=2，S_△BOM=

1

2

×OB×BM×sin60°=

3

，
所以V_B-DOM=V_D-BOM=

1

3

S_△BOM=×DO=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．