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        1. 如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F(xiàn)分別在線段BC和AD上,EFAB,將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.

          (Ⅰ)求證:NC平面MFD;
          (Ⅱ)若EC=3,求證:ND⊥FC;
          (Ⅲ)求四面體NFEC體積的最大值.
          (Ⅰ)證明:因?yàn)樗倪呅蜯NEF,EFDC都是矩形,
          所以MNEFCD,MN=EF=CD.
          所以四邊形MNCD是平行四邊形,…(2分)
          所以NCMD,…(3分)
          因?yàn)镹C?平面MFD,所以NC平面MFD.…(4分)
          (Ⅱ)證明:連接ED,設(shè)ED∩FC=O.
          因?yàn)槠矫鍹NEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
          所以NE⊥平面ECDF,…(5分)
          因?yàn)镕C?平面ECDF,
          所以FC⊥NE.…(6分)
          又EC=CD,所以四邊形ECDF為正方形,所以FC⊥ED.…(7分)
          所以FC⊥平面NED,…(8分)
          因?yàn)镹D?平面NED,
          所以ND⊥FC.…(9分)
          (Ⅲ)設(shè)NE=x,則EC=4-x,其中0<x<4.
          由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面體NFEC的體積為VNFEC=
          1
          3
          S△EFC•NE=
          1
          2
          x(4-x)
          .…(11分)
          所以VNFEC
          1
          2
          [
          x+(4-x)
          2
          ]2=2
          .…(13分)
          當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x,即x=2時(shí),四面體NFEC的體積最大.…(14分)
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2
          3
          ,D、E分別為AA1、BC1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:DE⊥平面BB1C1C;
          (Ⅱ)求三棱錐C-BC1D的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
          2
          a,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
          (1)求證:PA⊥平面ABCD;
          (2)求面EAC與面DAC所成的二面角的大小.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等邊三角形,ABCD是矩形,F(xiàn)是AB的中點(diǎn),G是AD的中點(diǎn),EC與平面ABCD成30°角.
          (1)求證:EG⊥平面ABCD;
          (2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是AC,BD的交點(diǎn).
          求證:A1F⊥平面BED.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,ADBC,AB=AD=PB,BC=2AD.點(diǎn)E在棱PA上,且PE=2EA.
          (I)求證:CD⊥平面PBD;
          (II)求二面角A-BE-D的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的( 。
          A.充分不必要條件B.必要不充分條件
          C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          如圖,AO⊥平面α,點(diǎn)O為垂足,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=
          π
          4
          ,∠COB=
          π
          6
          ,則cos∠BAC=______.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B-ACD,點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),DM=2
          2

          (1)求證:OM平面ABD;
          (2)求證:平面DOM⊥平面ABC;
          (3)求三棱錐B-DOM的體積.

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