Question

【題目】已知函數， .

（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）是否存在整數，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）符合要求的整數是或.

【解析】試題分析：（1）求出函數的對稱軸，由于y=|f（x）|在[﹣1，0]上是減函數，則討論區(qū)間在對稱軸的右邊，且f（0）不小于0，區(qū)間在對稱軸的左邊，且f（0）不大于0．解出它們即可；

（2）假設存在整數a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．則f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整數a，b，再代入不等式檢驗即可．

試題解析：

（1）令，則.

當，即時， 恒成立，

所以.

因為在上是減函數，

所以，解得，

所以.

由，解得或.

當時， 的圖象對稱軸，

且方程的兩根均為正，

此時在為減函數，所以符合條件.

當時， 的圖象對稱軸，

且方程的根為一正一負，

要使在單調遞減，則，解得.

綜上可知，實數的取值范圍為.

（2）假設存在整數，使的解集恰好是，則

①若函數在上單調遞增，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數，

故， ， 或， ， ，經檢驗均不滿足要求；

②若函數在上單調遞減，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數，

故， ， 或， ， ，經檢驗均不滿足要求；

③若函數在上不單調，則， 且，

即作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數，

故， ， 或， ， ，，經檢驗均滿足要求；

綜上，符合要求的整數是或