Question

【題目】已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和滿足，其中．

（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：；

（3）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，整理得：，可得，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）可知：，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得；（3）由得，整理得：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由為非零整數(shù)，即可求得．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴，即，

∴（常數(shù)），

又，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，．

（2），

，，

相減得，

∴．

（2）由，得，

，，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，∴；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴，

又為非零整數(shù)，∴．