Question

【題目】已知 函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（3）解關于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常數(shù)a∈R．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，

令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函數(shù)

（2）解：∵f（x）對一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），

當x＜0時，f（x）＞0．

令x1＞x2，則x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，

由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．

∴f（x）在R上是減函數(shù)

（3）解：f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），

則不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等價為f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），

即f（x2+3a）＞f（3x+ax），

∵f（x）在R上是減函數(shù)，

∴不等式等價為x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，

當a=0時，不等式的解集為，

當a＞3時，不等式的解集為（3，a），

當a＜3時，不等式的解集為（a，3）

【解析】（1）利用賦值法即可求f（0），根據函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，利用賦值法即可得到結論；（2）根據函數(shù)單調性的定義即可判斷f（x）的單調性； （3）將不等式進行等價轉化，結合函數(shù)的奇偶性和單調性的性質即可得到結論．