Question

【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD菱形，,平面平面 ABCD， .E，F 分別是線段 SC，AB 上的一點, .

（1）求證：平面SAD;

（2）求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）先證明平行四邊形AGEF，得到AG∥EF，再證明EF∥平面SAD；

（2）以OA，OB，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，求出平面DEF的法向量和平面SBC的一個法向量，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值，從而求出平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值．

（1）過點E作EG∥DC，如圖，連接AG，因為，所以，

故EG∥CD，EG，由，AF，

因為菱形ABCD，所以EG∥AF，EG＝AF，

故平行四邊形AGEF，所以AG∥EF，

又平面，平面，所以平面.

（2）取AD中點O，等腰三角形SAD，故SO⊥AD，連接OB，

菱形ABCD，∠ADC＝120°，所以OB⊥OA，

又平面SAD⊥平面ABCD所以SO⊥平面ABCD，

以OA，OB，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，

因為SA＝SD＝3，所以AD＝AB＝CD＝6，SO＝3，

∠ADC＝120°，所以AF＝2，OB，AO＝OD＝3，

所以A（3，0，0），D（﹣3，0，0），S（0，0，3），

F（2，，0），B（0，3，0），C（﹣6，3，0），

又（﹣2，，﹣1），得E（﹣2，，2），

所以，，，，

設(shè)平面DEF的一個法向量為，

由，得，故

設(shè)平面SBC的一個法向量為，

由，得，故，

所以，

平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值為．