Question

【題目】如圖，在三棱臺中， 平面， ， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若且，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）利用中位線，有，所以平面平面，所以平面；（2）易得， ， 兩兩垂直，以此建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量，利用法向量夾角來計(jì)算二面角的余弦值為，所以二面角為.

試題解析：

（1）證明：連接， ，

設(shè)與交于點(diǎn)，在三棱臺中， ，則，

而是的中點(diǎn)， ，

則，所以四邊形是平行四邊形， 是的中點(diǎn)，

在△中， 是的中點(diǎn)，則，

又平面， 平面，

所以平面．

（2）解：由平面，可得平面，

而， ，則，

所以， ， 兩兩垂直，

故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在的直線分別為， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則， ， ， ， ， ， ，

則平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則即

取，則， ， ，

，易得二面角為銳角，

所以二面角的大小為．