Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為棱形，且面，，，，且，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先利用線面垂直的性質(zhì)證明，再由菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系, 取的中點(diǎn)，連，易證面，可得平面的一個法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零求出平面的法向量，利用空間向量加角余弦公式可求出二面角的余弦值.

（1）∵平面

∴

又∵在菱形中，對角線為與

∴

又∵

∴面

（2）

平面內(nèi)，過作直線與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

∴中點(diǎn)，中點(diǎn)

則取的中點(diǎn)，連，

則，

所以 面，

所以面的一個法向量為，

設(shè)平面的一個法向量為，則

∴令，則，∴

令二面角的平面角為，易知該二面角為銳角

∴.