Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，且，

（1）證明：平面平面．

（2）若為側(cè)棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）在梯形中，可證，再由，進(jìn)而有平面，即可證明結(jié)論；

（2）由已知可得，由（1）得，可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)，求出平面法向量坐標(biāo)，取平面的法向量為，根據(jù)空間向量的面面角公式，即可求解.

（1）在底面中，，

且，

，，，

又平面，

平面，平面，

又平面，平面平面．

（2），，，

又，，平面，

平面，平面．

取BC的中點(diǎn)E，則AE、AD、AP三條直線兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，，

，所以，

，

由（1）知平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，

所以平面的一個(gè)法向量為，

所以，

，

所以二面角的正弦值．