Question

【題目】如圖，在三棱柱中，和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得A1O⊥AC，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理即得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面A1BC1的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.

詳解：

（Ⅰ）證明：∵AA1=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，

∴A1O⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交線為AC，又A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知可得，, ，

∴，，，

設(shè)平面A1BC1的法向量為 ，

則有，

所以的一組解為

設(shè)直線與平面所成角為，

則

又∵img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/02/09/10/12b67617/SYS201902091002258755809350_DA/SYS201902091002258755809350_DA.024.png" width="60" height="33" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> =，

所以與平面所成角的正弦值為．