Question

【題目】(2015·新課標(biāo)I卷）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi=1;2…8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中wi=，=
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；
（2）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x ， y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x=90時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？
（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回歸線v=的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

Answer 1

【答案】
（1）

y=c+d適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型。

（2）

=100.6+68

（3）

46.24

【解析】(I)由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù);(II)令w=,先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方程;(III) : (i) 利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，(ii) 根據(jù)(II)的結(jié)果知，
利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.
試題解析:(I)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型。
(II)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于
∴
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w, ∴y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.
(III)(i)由(II)知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷量y的預(yù)報(bào)值,=100.6+68=576.6，=576.6x0.2-49=66.32 (ii)根據(jù)(II)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,∴ 當(dāng)==6.8，即x=46.24時(shí)，取得最大值。
【分 析】本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應(yīng)用，是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問(wèn)題，先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè) 出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可 求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.