Question

【題目】已知函數(shù))記x為的從小到大的第n()個極植點，證明：
（1）數(shù)列的等比數(shù)列
（2）若則對一切恒成立

Answer 1

【答案】見詳解
【解析】（1）求導，可知利用三角函數(shù)的知識可得的極植點為即可得證，其中令由得即
對若即則若即則因此，在區(qū)間與上的符號總是相反的，于是當時f（x）取得極植所以此時易得f(xn)不等于0而是非零常數(shù)。故數(shù)列的首項為公比為的等比數(shù)列.
（2）分析題意的可知，問題等價于恒成立，構(gòu)造函數(shù),;利用導數(shù)判斷其單調(diào)性即可得證由（1）知于是對一切恒成立即恒成立，等價于①恒成立，因為（）設(shè)g（t）=則令,得t=1
當時因為g（t）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減
當時所以g（t）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增
從而當t=1時函數(shù)g（t）取得最小值g（1）=e因此，要是①恒成立只需即只需而當時且于是且當時因此對這一切,不等于1所以故①恒成立綜上所述若則對一切恒成立.
【考點精析】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義和基本求導法則的相關(guān)知識點，需要掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即；若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導才能正確解答此題．