Question

【題目】(2015·湖南)設(shè),且，證明
（1）
（2）與不可能同時(shí)成立

Answer 1

【答案】
（1）

由a>0,b>0,

則,

由于，則,

即有,

當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，

則

（2）

假設(shè)與同時(shí)成立，

由及可得

由及可得

這與矛盾

所以與不可能同時(shí)成立

【解析】（1）將已知條件中的式子可等價(jià)變形為，再由基本不等式即可得證詳見解答（1）（2）利用反證發(fā)，假設(shè)與同時(shí)成立，可求得，從而與矛盾，即可得證，詳見解答（2）
本題主要考查了不等式的證明與反證法等知識點(diǎn)，屬于中檔題，第一小問需將條件中的式子作等價(jià)變形，再利用基本不等式即可求解，第二小問從問題不可能同時(shí)成立，可以考慮采用反證法證明，否定結(jié)論，從而推出矛盾，反證法作為一個(gè)相對冷門的數(shù)學(xué)方法，在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)亦應(yīng)予以關(guān)注.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本不等式和反證法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號）；變形公式：；從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．